単項式
数や文字を掛け合わせてできる式を単項式といいます。例えば、
2x, \ -3x^{2}, \ 6ab
などは単項式です。また、数や文字だけの式も単項式です。つまり、
4, \ x, \ a^{2}
なども単項式です。
単項式の中で、数の部分をその単項式の係数といいます。また、掛け合わされている文字の個数をその単項式の次数といいます。例えば、
- 2x の係数は 2 、次数は 1
- -3a^{2} の係数は -3 、次数は 2
- 6xy の係数は 6 、次数は 2
- x の係数は 1 、次数は 1
です。x や y^{2} のような文字だけの単項式は、文字の前に 1 が掛けられていると考えるので、係数は 1 になります。
数を単項式と考えるときは、係数はその数自身、次数は 0 と考えます。例えば、4 という単項式の係数は 4 、次数は 0 です。
多項式
単項式の和として表される式を多項式といいます。例えば、3x^{2}, \ x, \ -5 という3つの単項式を足し合わせると、
3x^{2}+x+(-5) = 3x^{2}+x-5
という多項式になります。
多項式に含まれる単項式を、その多項式の項といいます。例えば、3x^{2}+x-5 という多項式の項は 3x^{2}, \ x, \ -5 です。
多項式の項のうち、文字を含まないものを定数項といいます。3x^{2}+x-5 の定数項は -5 です。
整式
単項式と多項式を合わせて整式といいます。ただし、単項式は項が1つの多項式と考えることができるので、整式と多項式は実質的に同じ意味です。
整式の項の係数は、整数である必要はありません。つまり、
-\frac{2}{3}xy + \sqrt{7}x + 0.2y – \pi
のような式も整式です。
一方、単項式の和として表せない式は、整式ではありません。例えば、
\frac{2x-3}{x^{2}+5}
3^{x}-\sin{x}
のような式は整式ではありません。
ある整式において、最も次数が高い項の次数を、その整式の次数といいます。また、次数が n の整式を n次式といいます。例えば、
- 3x^{2}+x-5 の次数は 2 で、この式は 2次式
- 4a-b^{3}+1 の次数は 3 で、この式は 3次式
- x^{3}y^{2}-4xy+3x+y の次数は 5 で、この式は 5次式
です。
整式の次数は、着目する文字によって変わることがあります。ある文字に着目したとき、それ以外の文字は数として考えます。例えば、
x^{3}y^{2}-4xy+3x+y
という整式は、x と y に着目したときは 5次式ですが、x に着目すると 3次式、y に着目すると 2次式になります。また、y に着目すると、-4xy という項の係数は -4x に、3x という項は定数項になります。
整式の整理
整式の中で、文字の部分が同じ項を同類項といいます。例えば、
xy^{2}, \ -3xy^{2}, \ \frac{xy^{2}}{5}, \ \sqrt{7}xy^{2}, \ 2y^{2}x
はすべて同類項です。
同類項は係数部分を足し合わせることで、1つの項にまとめることができます。例えば、
\begin{eqnarray} 5x^{2}+x^{2}-3x^{2} &=& (5+1-3)x^{2} \\[0.5em] &=& 3x^{2} \end{eqnarray}
のように同類項をまとめることができます。同類項をまとめることを、整式を整理するといいます。
整式の次数を判断するときは、まず同類項をまとめる必要があります。例えば、2x^{2}+3x-2x^{2}+1 という式は、
2x^{2}+3x-2x^{2}+1 = 3x+1
と整理できるので、1次式です。
整式を見やすくするために、項の次数の順に並びかえることがあります。項の次数が高い順に並べることを、降べきの順に整理するといいます。一方、項の次数が低い順に並べることを、昇べきの順に整理するといいます。
例えば、-2x+3x^{3}+x^{2}-5 という式を、
- 降べきの順に整理すると 3x^{3}+x^{2}-2x-5
- 昇べきの順に整理すると -5-2x+x^{2}+3x^{3}
となります。
整式の整理や並びかえのときにも、特定の文字に着目して整理することができます。そのときも、着目していない文字を数として考えれば大丈夫です。
練習問題
問題
整式
2x^{3}y^{2}+xy^{3}+2x^{2}+x^{3}y^{2}-y+4+y^{3}-3x^{3}y^{2}+x^{2}
の同類項をまとめて整理し、降べきの順に整理したうえで、整式の次数と定数項を答えてください。また、文字 x に着目したときの次数と定数項を答えてください。
解答・解説
まずは同類項をまとめて整理します。式を見ると、x^{3}y^{2} の項と、x^{3} の項をまとめることができそうです。実際に整理すると、
\begin{align} &2x^{3}y^{2}+xy^{3}+2x^{2}+x^{3}y^{2}-y+4+y^{3}-3x^{3}y^{2}+x^{2} \\[0.5em] &= 2x^{3}y^{2}+x^{3}y^{2}-3x^{3}y^{2}+xy^{3}+2x^{2}+x^{2}-y+4+y^{3} \\[0.5em] &= (2+1-3)x^{3}y^{2}+xy^{3}+(2+1)x^{2}-y+4+y^{3} \\[0.5em] &= xy^{3}+3x^{2}-y+4+y^{3} \end{align}
となります。次に、式を降べきの順に整理します。項の次数が高い順に並べると、
xy^{3}+3x^{2}-y+4+y^{3} = xy^{3}+y^{3}+3x^{2}-y+4
となります。ここで、最も次数が高い項は xy^{3} で、その次数は 4 です。また、定数項は 4 です。
続いて、x に着目して降べきの順に整理します。このとき、着目しない y は数として考えます。
xy^{3}+y^{3}+3x^{2}-y+4 = 3x^{2}+y^{3}x+y^{3}-y+4
このとき、最も次数が高い項は 3x^{2} で、その次数は 2 です。また、定数項は y^{3}-y+4 です。
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