整式 – チガクブ！

単項式 数や文字を掛け合わせてできる式を単項式といいます。例えば、 \[2x, \ -3x^{2}, \ 6ab\] などは単項式です。また、数や文字だけの式も単項式です。つまり、 \[4, \ x, \ a^{2}\] なども単項式です。 単項式の中で、数の部分をその単項式の係数といいます。また、掛け合わされている文字の個数をその単項式の次数といいます。例えば、 \(2x\) の係数は \(2\) 、次数は \(1\) \(-3a^{2}\) の係数は \(-3\) 、次数は \(2\) \(6xy\) の係数は \(6\) 、次数は \(2\) \(x\) の係数は \(1\) 、次数は \(1\) です。\(x\) や \(y^{2}\) のような文字だけの単項式は、文字の前に \(1\) が掛けられていると考えるので、係数は \(1\) になります。 数を単項式と考えるときは、係数はその数自身、次数は \(0\) と考えます。例えば、\(4\) という単項式の係数は \(4\) 、次数は \(0\) です。 多項式 単項式の和として表される式を多項式といいます。例えば、\(3x^{2}, \ x, \ -5\) という3つの単項式を足し合わせると、 \[3x^{2}+x+(-5) = 3x^{2}+x-5\] という多項式になります。 多項式に含まれる単項式を、その多項式の項といいます。例えば、\(3x^{2}+x-5\) という多項式の項は \(3x^{2}, \ x, \ -5\) です。 多項式の項のうち、文字を含まないものを定数項といいます。\(3x^{2}+x-5\) の定数項は \(-5\) です。 整式 単項式と多項式を合わせて整式といいます。ただし、単項式は項が1つの多項式と考えることができるので、整式と多項式は実質的に同じ意味です。 整式の項の係数は、整数である必要はありません。つまり、 \[-\frac{2}{3}xy + \sqrt{7}x + 0.2y - \pi\] のような式も整式です。 一方、単項式の和として表せない式は、整式ではありません。例えば、 \[\frac{2x-3}{x^{2}+5}\]\[3^{x}-\sin{x}\] のような式は整式ではありません。 ある整式において、最も次数が高い項の次数を、その整式の次数といいます。また、次数が \(n\) の整式を \(n\)次式といいます。例えば、 \(3x^{2}+x-5\) の次数は \(2\) で、この式は \(2\)次式 \(4a-b^{3}+1\) の次数は \(3\) で、この式は \(3\)次式 \(x^{3}y^{2}-4xy+3x+y\) の次数は \(5\) で、この式は \(5\)次式 です。 整式の次数は、着目する文字によって変わることがあります。ある文字に着目したとき、それ以外の文字は数として考えます。例えば、 \[x^{3}y^{2}-4xy+3x+y\] という整式は、\(x\) と \(y\) に着目したときは \(5\)次式ですが、\(x\) に着目すると \(3\)次式、\(y\) に着目すると \(2\)次式になります。また、\(y\) に着目すると、\(-4xy\) という項の係数は \(-4x\) に、\(3x\) という項は定数項になります。 整式の整理 整式の中で、文字の部分が同じ項を同類項といいます。例えば、 \[xy^{2}, \ -3xy^{2}, \ \frac{xy^{2}}{5}, \ \sqrt{7}xy^{2}, \ 2y^{2}x\] はすべて同類項です。 同類項は係数部分を足し合わせることで、1つの項にまとめることができます。例えば、 \begin{eqnarray}5x^{2}+x^{2}-3x^{2} &amp;=&amp; (5+1-3)x^{2} \\[0.5em]&amp;=&amp; 3x^{2}\end{eqnarray} のように同類項をまとめることができます。同類項をまとめることを、整式を整理するといいます。 整式の次数を判断するときは、まず同類項をまとめる必要があります。例えば、\(2x^{2}+3x-2x^{2}+1\) という式は、 \[2x^{2}+3x-2x^{2}+1 = 3x+1\] と整理できるので、\(1\)次式です。 整式を見やすくするために、項の次数の順に並びかえることがあります。項の次数が高い順に並べることを、降べきの順に整理するといいます。一方、項の次数が低い順に並べることを、昇べきの順に整理するといいます。 例えば、\(-2x+3x^{3}+x^{2}-5\) という式を、 降べきの順に整理すると \(3x^{3}+x^{2}-2x-5\) 昇べきの順に整理すると \(-5-2x+x^{2}+3x^{3}\) となります。 整式の整理や並びかえのときにも、特定の文字に着目して整理することができます。そのときも、着目していない文字を数として考えれば大丈夫です。 練習問題 問題 整式 \[2x^{3}y^{2}+xy^{3}+2x^{2}+x^{3}y^{2}-y+4+y^{3}-3x^{3}y^{2}+x^{2}\] の同類項をまとめて整理し、降べきの順に整理したうえで、整式の次数と定数項を答えてください。また、文字 \(x\) に着目したときの次数と定数項を答えてください。 解答・解説 まずは同類項をまとめて整理します。式を見ると、\(x^{3}y^{2}\) の項と、\(x^{3}\) の項をまとめることができそうです。実際に整理すると、 \begin{align}&amp;2x^{3}y^{2}+xy^{3}+2x^{2}+x^{3}y^{2}-y+4+y^{3}-3x^{3}y^{2}+x^{2} \\[0.5em]&amp;= 2x^{3}y^{2}+x^{3}y^{2}-3x^{3}y^{2}+xy^{3}+2x^{2}+x^{2}-y+4+y^{3} \\[0.5em]&amp;= (2+1-3)x^{3}y^{2}+xy^{3}+(2+1)x^{2}-y+4+y^{3} \\[0.5em]&amp;= xy^{3}+3x^{2}-y+4+y^{3}\end{align} となります。次に、式を降べきの順に整理します。項の次数が高い順に並べると、 \[xy^{3}+3x^{2}-y+4+y^{3} = xy^{3}+y^{3}+3x^{2}-y+4\] となります。ここで、最も次数が高い項は \(xy^{3}\) で、その次数は \(4\) です。また、定数項は \(4\) です。 続いて、\(x\) に着目して降べきの順に整理します。このとき、着目しない \(y\) は数として考えます。 \[xy^{3}+y^{3}+3x^{2}-y+4 = 3x^{2}+y^{3}x+y^{3}-y+4\] このとき、最も次数が高い項は \(3x^{2}\) で、その次数は \(2\) です。また、定数項は \(y^{3}-y+4\) です。 今回はこれで終わりです。この記事が気に入っていただけたら、SNS等でのシェアをよろしくお願いします！また、公式Xのフォローやブックマークなどもよろしくお願いします！

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