数学Ⅱ

累乗と指数 まずは累乗について基本的なことがらを確認しましょう。数 \(a\) を6つ掛けたものは、\(aaaaaa\) と表されます。しかし、この表し方では \(a\) がいくつあるのか一見してわかりません。そこで、これを \(a^{6}\) と表します。そうすると、\(a\) が6つ掛け合わされているということがひと目見てわかります。 一般に、数 \(a\) を \(n\) 個掛けたものを \(a^{n}\) と表し、\(a\) の \(n\) 乗と読みます。\(2\) 乗、\(3\) 乗はそれぞれ平方、立方ともいいます。そして、\(a, a^{2}, a^{3}, \cdots\) を \(a\) の累乗といいます。また、\(a^{n}\) に対して、\(a\) を底、\(n\) を指数といいます。 指数法則 以下の指数法則は、しっかりと頭に入れて、いつでも使えるようにしましょう。 指数法則 実数 \(a,b\) 、自然数 \(m,n\) に対して、以下の式が成り立つ。 \[(\mathrm{i}) \ a^{m}a^{n}=a^{m+n}\] \[(\mathrm{ii}) \ (a^{m})^{n}=a^{mn}\] \[(\mathrm{iii}) \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\] 指数法則の証明は省略します。代わりに、以下の例題で指数法則が成り立つことを確認しましょう。 例題 以下の式を簡単な累乗の形になおしてください。 \[(1) \quad a^{3}a^{2}\] \[(2) \quad (a^{2})^{3}\] \[(3) \quad (ab)^{3}\] 解答・解説 掛け算の形になおしてから計算する方法 \((1)\) \(a^{3} = aaa, \ a^{2} = aa\) なので、これを掛け合わせると \(aaaaa\) 、すなわち \(a^{5}\) になります。 \[a^{3}a^{2} = aaa \times aa = a^{5}\] \((2)\) \(a^{2} = aa\) が3つ掛け合わさっているので、以下のようになります。 \[(a^{2})^{3} = aa \times aa \times aa = a^{6}\] \((3)\) \(ab\) が3つ掛け合わさっているので、\(a, \ b\) はそれぞれ3つずつ掛け合わさっていることになります。 \[(ab)^{3} = ab \times ab \times ab = aaa \times bbb = a^{3}b^{3}\] 指数法則を使って計算する方法 \((1)\) 指数法則の \((\mathrm{i}) \ a^{m}a^{n}=a^{m+n}\) を使うと、 \[a^{3}a^{2} = a^{3+2} = a^{5}\] となります。 \((2)\) 指数法則の \((\mathrm{ii}) \ (a^{m})^{n}=a^{mn}\) を使うと、 \[(a^{2})^{3} = a^{2 \times 3} = a^{6}\] となります。 \((3)\) 指数法則の \((\mathrm{iii}) \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\) を使うと、 \[(ab)^{3} = a^{3}b^{3}\] となります。 このように、指数法則を使っても同じ答えとなりました。 累乗と指数法則の拡張 上で紹介した指数法則は、指数が自然数の場合に限っていました。ここからは、指数がすべての整数の場合に指数法則が成り立つように、累乗の定義を拡張します。 まずは、指数が \(0\) の場合に拡張します。\(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\) が \(n=0\) のときに成り立つとすると \[a^{m}a^{0}=a^{m+0}=a^{m}\] となります。これが成り立つためには、\(a^{0}=1\) でなければなりません。よって、\(a^{0}=1\) と定義します。 次に、指数が負の整数の場合に拡張します。\(p\) を自然数として、\(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\) が \(m=p, \ n=-p\) のときに成り立つとすると \[a^{p}a^{-p}=a^{p-p}=a^{0}=1\] となります。これが成り立つためには、\(\displaystyle a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}\) でなければなりません。よって、\(\displaystyle a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}\) と定義します。 累乗の定義の拡張 \(a\) を実数、\(p\) を自然数とする。 \[a^{0}=1\] \[a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}\] この定義は必ず頭に入れておきましょう。また、この定義に従って、0以下の整数 \(m,n\) に対して指数法則が成り立つことを確認してみてください。 練習問題 問題 以下の式を簡単な累乗の形になおしてください。なお、指数に \(0\) や負の数を用いないで表してください。ただし、\(a,b\) は実数とします。 \[(1) \quad a^{-5}a^{2}\] \[(2) \quad a^{9}a^{-9}\] \[(3) \quad a^{5} \div a^{2}\] \[(4) \quad (a^{4})^{-1}\] \[(5) \quad (ab)^{-3}\] 解答・解説 指数法則を用いて計算します。 \((1)\) 指数法則の \((\mathrm{i}) \ a^{m}a^{n}=a^{m+n}\) を使います。これは \(m\) が負の整数の場合ですが、同じように指数法則が成り立ちます。計算すると、 \[a^{-5}a^{2} = a^{-5+2} = a^{-3} = \frac{1}{a^{3}}\] となります。 \((2)\) \((1)\) と同じく、指数法則の \((\mathrm{i}) \ a^{m}a^{n}=a^{m+n}\) を使います。\(a^{0}=1\) であることに注意して計算すると、 \[a^{9}a^{-9} = a^{9-9} = a^{0} = 1\] となります。 \((3)\) 割り算を分数になおすと、\(a^{2}\) が分母になります。累乗が分母にあるときは、指数の符号を反転させて掛け算の形にすることができます。実際に計算してみると、 \[a^{5} \div a^{2} = \frac{a^{5}}{a^{2}} = a^{5}a^{-2} = a^{3}\] となります。 ここでは無理やり指数法則を使いましたが、通常は分数の形から直接約分して大丈夫です。すなわち、 \[a^{5} \div a^{2} = \frac{a^{5}}{a^{2}} = a^{3}\] のように計算することもできます。 あるいは、「累乗の割り算は指数の引き算になる」と覚えてしまっても大丈夫です。つまり、 \[a^{5} \div a^{2} = a^{5-2} = a^{3}\] と計算できます。 \((4)\) 指数法則の \((\mathrm{ii}) \ (a^{m})^{n}=a^{mn}\) を使います。\(a^{-4}=\frac{1}{a^{4}}\) であることに注意して計算すると、 \[(a^{4})^{-1} = a^{4 \times (-1)} = a^{-4} = \frac{1}{a^{4}}\] となります。 \((5)\) 指数法則の \((\mathrm{iii}) \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\) を使って計算すると、 \[(ab)^{-3} = a^{-3}b^{-3} = \frac{1}{a^{3}}\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{a^{3}b^{3}}\] となります。 今回はこれで終わりです。この記事が気に入っていただけたら、SNS等でのシェアをよろしくお願いします！また、公式Xのフォローやブックマークなどもよろしくお願いします！

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